Adiabatenexponent

1. Theorie

Ziel des Versuchs ist die Bestimmung des Adiabatenexponents κ für die Gase Stickstoff uns Argon und der anschließende Vergleich mit dem theoretischen Wert, der aus der kinetischen Gastheorie resultiert. Die Versuchsmethode besteht darin, die Schwingungsdauer eines durch das zu untersuchende Gas getriebenen harmonischen Oszillators zu bestimmen. Der Oszillator besteht aus einem Kolben, welcher von unten durch einen Überdruck in einer Glassäule nach oben gedrückt wird, bis zum Passieren einer Öffnung, an welcher sich der Überdruck ausgleicht und der Kolben somit nach unten sinkt. Jede Schwingung wird durch eine Lichtschranke registriert, wobei der konstante Gasdruck eine harmonische Oszillation des Zylinders gewährleistet. Die Oszillation ist so schnell, dass die Expansion und Kompression als adiabatisch angesehen werden kann

. Befindet sich der Zylinder in einer Ruhelage (x = 0) so heben sich Aussen- und Innendruck gerade auf:

Ueber die Grundgleichung fuer die Kraft F, welche durch eine Druckdifferenz auf den Körper einwirkt gelangt man zu:

Verwendet man die differentielle Darstellung der Beschleunigung unter Verwendung von

so gelangt man zum Ausdruck

Die Adiabatengleichung lautet

und generiert in ihrer differenzierten Form

unter Verwendung endlicher Druck- und Volumenänderungen Δp und ΔV den Ausdruck

Für die Volumenänderung in Abhängigkeit der Auslenkung x ergibt sich folgender Zusammenhang

Kombiniert man Gleichungen so erhält man die Gleichung eines harmonischen Oszillators

mit

erhält man die Gleichung

Aus dem Zusammenhang für die Kreisfrequenz ω

erhält man:

Man erkennt, dass sich der Adiabatenexponent durch Kenntnis der Schwingungsdauer des oben beschriebenen Systems berechnen lässt. Ist außerdem der mittleren Gasdrucks p bekannt, welcher sich aus der ersten Gleichung und dem mittleren Volumen V berechnen lässt, welches sich aus dem Volumen des Glasrohrs und des Glaskolbens zusammensetzt und weiß man auch um welches Gas es sich handelt, so kann der Adiabatenexponent b berechnet werden.

Der Vergleich mit dem theoretischen Wert, welcher aus der kinetischen Gastheorie resultiert, erfolgt vom Ausgangspunkt der Beziehung

Aus dem Gleichverteilungssatz der Energie folgt pro Freiheitsgrad eine Wärmekapazität

und für ein Molekül mit f Freiheitsgraden

Es ergibt sich

Durch diesen letzten Term werden die Freiheitsgerade beschrieben. Es gibt drei Arten von Freiheitsgeraden: Translations-, Rotations- und Vibrationsfreiheitsgerade.

 

 

2. Durchführung

Zunächst wurden die beiden Wahlgasventile vorbereitet, indem die Nadelventile geöffnet wurden. Im Anschluss wurde zunächst die Stickstoffleitung mit dem Gaszulauf verbunden und der Kolben mit Stickstoff gespült. Nun wurde der Stickstoffstrom so einreguliert, dass sich eine annähernd harmonische Schwingung des Kolbens im Glasrohr einstellte. Hierbei war darauf zu achten, dass zum Einen nicht beide maximalen Auslenkungspunkte über dem Messpunkt der Lichtschranke lagen, zum Anderen auch, dass das untere Ende des Kolbens seine maximale Auslenkung nicht oberhalb der Lichtschranke erreichte. Im Anschluss wurde die Lichtschranke zurückgesetzt und drei Male jeweils die Zeit für 500 Schwingungsdauern des Kolbens gemessen.

Messwerte:

	t1 [s] /500U	t2 [s]/500U	t3 [s]/500U
N2	169,91	170,45	170,81
Ar	159,03	160,93	161,11

 

 

 

 

 

3. Auswertung

Als Mittelwerte für die gemessenen Zeiten ergaben sich für Stickstoff

und für Argon

Die Periodendauer T wurde hieraus für Stickstoff zu

und für Argon

Nun kann der Adiabatenkoeffizienten mit Hilfe der folgenden Parameter berechnet werden.

Der Druck p wurde mit dem gemessenen externen Luftdruck berechnet:

Nach Einsetzen der Werte erhält man für Stickstoff folgenden Wert

 

Der Vergleich mit dem theoretischen Wert folgt durch Betrachtung der Freiheitsgrade, welche den betrachteten Molekülen zur Verfügung stehen. Für den Fall des zweiatomigen Stickstoffs existieren insgesamt 3N = 6 Freiheitsgrade. Hierbei einfallen 3 Freiheitsgrade auf die Translation, 2 Freiheitsgrade auf die Rotation und 1 Freiheitsgrad verbleiben für die Vibration, welcher doppelt in die Wärmekapazität eingeht aufgrund der beiden Energieterme E_pot und E_kin. Die Wärmekapazität beträgt in diesem Falle also

Für folgt also

Der numerische Wert für berechnet sich zu

Der experimentelle Wert ergab ein Ergebnis von

Die Abweichung des praktisch ermittelten vom theoretischen Wert kann man unter Berücksichtigung der Quantenmechanik nachvollziehen. Die Energieniveaus für Übergänge zwischen den gequantelten Niveaus im betrachteten System sind so gering, dass sich in erster Näherung ein Kontinuum an Energieniveaus ergibt. Übergänge können demnach also durch Energiequanten aller Energien induziert werden. Ein ähnliches Bild ergibt sich bei Betrachtung der Rotationsniveaus. Die Abstände zwischen den Rotationsniveaus sind zwar größer als die der Translationsenergieniveaus, liegen jedoch nach wie vor, sehr dicht beeinander, so dass eine ähnliche Folgerung wie auch bei den oben diskutierten Translationsniveaus gerechtfertigt scheint. Bei den Schwingungsniveaus liefert die Untersuchung ein anderes Ergebnis: Bei Raumtemperatur ergeben sich Abstände zwischen den Energieniveaus der Schwingungszustände, die deutlich größer sind, als in bisher diskutierten Fällen. Die Argumentation mit einem Kontinuum ist in diesem Falle daher nicht mehr gerechtfertigt. Vielmehr muss die mittlere Energie pro Freiheitsgrad genau diesem Quantensprung entsprechen um eine Anregung zu induzieren. Bei Zimmertemperatur ist diese Energie

nicht vorhanden, was dazu führt, dass sich die Moleküle im Schwingungsgrundzustand befinden und die Freiheitsgrade der Schwingung nicht angeregt sind, sodass sich effektiv ein größerer Adiabatenkoeffizient ergibt.

Berechnet man den theoretischen Koeffizienten unter Annahme der nicht angeregten Schwigungszustände, so ergibt sich ein Koeffizient von

 

 

Man erkennt eine deutlich größere Übereinstimmung mit dem experimentellen Wert. Postuliert man nun nicht voll angeregte Rotationsniveaus, so kommt man dem experimentellen Wert sehr nahe.

 

Der Vergleich des Ergebnis im Falle des Argon liefert einen theoretischen Wert von

Der experimentell ermittelte Wert von

liefert in erster Näherung dasselbe Ergebnis wie die theoretische Berechnung. Im Vergleich kann eine Abweichung von 0,30 % ermittelt werden. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die Theorie im Falle einatomiger sich annähernd ideal verhaltender Gase eine gute Übereinstimmung mit dem realen Verhalten zeigt. Dies kann dadurch erklärt werden, dass einatomige Gase keine Schwingungsfreiheitsgrade besitzen und die translatorischen Freiheitsgrade bei Raumtemperatur vollständig angeregt sind. Unter Berücksichtigung dieser Theorie, stimmen die experimentell ermittelten Werte sehr gut mit den erwarteten Werten überein.

 

 

 

 

1. Fehlerrechnung

In die Fehlerrechnung gehen folgende Größen ein:

sowie der geschätzte Fehler bei der Messung der Zeit, welcher auf 0,2 s geschätzt wird. Da die Zeit 500 Perioden beinhaltet, resultiert ein Fehler für die Periodendauer von

Im Folgenden soll der Fehler nach der Methode des maximalen Fehlers berechnet werden

 

Der maximale Fehler ergibt sich hierbei im Falle des Koeffizienten des Stickstoffs zu

Der maximale Fehler beträgt hierbei 5,8%. Es kann erkannt werden, dass der theoretische Wert, bei welchem keine Anregung der vibratorischen Freiheitsgrade existiert innerhalb der Fehlergrenzen des Experiments liegt.

 

Im Falle des Argons ergeben sich analog mit denselben Fehlern folgende maximale Unsicherheiten

 

Der maximale Fehler ergibt sich hierbei für den Koeffizienten des Argons zu

Der maximale Fehler beträgt hierbei 6,6%.